The XFEM for hydraulic fracture mechanics

  • Die XFEM für die hydraulische Bruchmechanik

Weber, Nikolai; Behr, Marek (Thesis advisor); Fries, Thomas-Peter (Thesis advisor)

Aachen (2016, 2017)
Doktorarbeit

Dissertation, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen, 2016

Kurzfassung

Das Ziel dieser Arbeit ist die numerische Behandlung des hydraulischen Bruchprozesses auf der Grundlage der erweiterten Finite Elemente Methode (XFEM). Drei wesentliche physikalische Phänomene werden hier betrachtet: eine viskose Flüssigkeit fließt in einen bestehenden Riss, der Riss breitet sich aufgrund des Fluiddrucks aus und es erfolgt eine Verformung des Körpers durch interne und externe Lasten. Die XFEM berücksichtigt die Sprünge im Verschiebungsfeld über die Rissoberfläche, welche numerisch als Diskontinuität interpretiert wird. Dies wird durch eine lokale Anreicherung des Approximationsraumes mit diskontinuierlichen (vorzeichenbehafteten) Funktionen erreicht. Das singuläre Verhalten an der Rissspitze wird durch Einbeziehen von vier Rissspitzen-Anreicherungsfunktionen erfasst. Somit ist eine Ausrichtung des Risses mit den Elementkanten des Finite Elemente Netzes nicht erforderlich und eine Neuvernetzung aufgrund der Rissausbreitung daher nicht notwendig. In dieser Arbeit wird eine hybride Rissbeschreibung verwendet, um die Anreicherungen korrekt abzubilden und umdas Risswachstum durchzuführen. Zunächst wird ein Level-Set Verfahren mit drei Level-Set Funktionen verwendet, um den Riss implizit zu beschreiben. Dadurch kann der zu anreichernde Bereich lokalisiert werden und die Level-Set Funktionen werden unmittelbar verwendet, um die Anreicherungen zu auszuwerten. Darüber hinaus kann ein lokales Koordinatensystem an der Rissspitze auf der Grundlage der impliziten Beschreibung formuliert werden. Des Weiteren wird eine explizite Beschreibung des Risses auf der Basis eines Dreiecksnetzes verwendet. Die Fortschreibung des Risses wird dann durch das Hinzufügen zusätzlicher Elemente an diejenigen Stellen des bestehenden Gitters realisiert, wo Risswachstum tatsächlich stattfindet. Obwohl die Rissfront eine sich bewegende Grenze darstellt, kann die genaue Lage der Rissfront während der gesamten Simulation leicht verfolgt werden. Beide Rissbeschreibungen können leicht ineinander umgewandelt werden und ergänzen sich daher sehr gut. Die Vorteile beider Beschreibungen, die Auswertung der Anreicherungsfunktionen mit dem impliziten und die Rissaktualisierung mit dem expliziten Ansatz, können gleichzeitig verwendet werden. Die dem Fluid zugrundeliegende partielle Differentialgleichung, welche auf der Rissfläche definiert ist, wird mit einer Finite Elemente Methode auf Dreieckselementen beschrieben. Zusätzlich wird das Netz lokal um die Rissfront verfeinert, um die an dieser Stelle vorherrschenden steilen Gradienten in dem Druckfeld zu erfassen. Die Finite Elemente Formulierung ist für den Fall von beliebig gekrümmten Rissen erweitert. Ein lokales Koordinatensystem auf der Oberfläche des Risses wird eingeführt, um die Fluidströmungsgleichungen angemessen zu transformieren und integrieren. Dieser Ansatz ist für Transportgleichungen auf gekrümmtenOberflächen umgesetzt und verifiziert. Die Grundgleichungen sind iterativ gekoppelt und gewährleisten die Flexibilität, dass jeder Modellteil unabhängig voneinander behandelt werden kann. Die gekoppelten Gleichungen werden an jedem Rissausbreitungsschritt gelöst, so dass der Riss bei Erfüllung des Rissfortschrittskriteriums aktualisiert wird. Wenn die Fluidfront die Rissfront nicht erreicht und sich eine Kavität an der Rissfront bildet, werden beide Fronten getrennt berücksichtigt. In diesem Fall bewegt sich die Flüssigkeitsfront solange vorwärtsbis das Rissfortschrittskriterium erfüllt ist. Dann erst wird ein neuer Risswachstumsschritt durchgeführt. Diese Arbeit stellt einen voll gekoppelten Modellierungsansatz vor, der beliebiges Risswachstum im dreidimensionalen Raum ermöglicht. Ein weiterer Fokus liegt auf der Behandlung von Transportgleichungen auf Mannigfaltigkeiten und der damit einhergehenden fluid-induzierten Rissausbreitung.Das gekoppelte Problem wird gegen vereinfachte analytische Lösungen und gegen experimentelle Ergebnisse, die durchs Spalten von Gesteinsproben der Größe 30 × 30 × 45 cm³ gewonnen wurden, verifiziert. Unter der Annahme eines initialen münzförmigen Risses konzentriert sich die Überprüfung auf die Druckkurve für den Bereich des Druckaufbaus und der Ausbreitungsphase. Da keine zufriedenstellende Übereinstimmung in der Druckkurve nahe des Druckmaximums erreicht wird, wurde das Modell um einen zusätzlichen Term erweitert, derdie nichtlinearen Effekte des Systems aufgrund der Kompressibilität erfasst. Die mit diesem Ansatz gewonnenen Simulationsergebnisse stimmen sehr gut mit den experimentellen Ergebnissen überein.

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