Efficient isogeometric finite element formulations for coupled systems on deforming surfaces

  • Effiziente isogeometrische Finite-Elemente-Formulierungen für gekoppelte Systeme auf verformbaren Oberflächen

Zimmermann, Christopher; Sauer, Roger Andrew (Thesis advisor); Elgeti, Stefanie Nicole (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Dissertation, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen, 2019

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene isogeometrische Finite-Elemente-Formulierungen für die effiziente Berechnung gekoppelter Systeme auf verformbaren Oberflächenvorgestellt. Die Oberflächenverformung ist durch die Kirchhoff-Love-Schalengleichung beschrieben. Diese Gleichung ist eine nichtlineare, partielle Differentialgleichung (PDG)vierter Ordnung. Die Schalenformulierung basiert auf einer krummlinigen Oberflächenparametrisierung und erlaubt beliebige Oberflächenformen und -deformationen. In dem ersten Teil der Arbeit wird eine neue, adaptive, lokale Verfeinerungstechnik, basierend auf locally refinable non-uniform rational B-splines (LR NURBS), präsentiert. Für die Einbindung in allgemeine Finite-Elemente-Codes wird der Bézier-Extraktionsoperator für LR NURBS formuliert. Eine Technik zur automatischen Neuvernetzung wird präsentiert, die adaptives, lokales Verfeinern und Vergröbern von LR NURBS erlaubt. Diese Technik wird für die effiziente Berechnung von reibungslosem und reibungsbehaftetem Gleitkontakt von verformbaren, dünnwandigen Schalen angewendet. Verschiedene numerische Beispiele zeigen den Vorteil von LR NURBS: Im Vergleich zu gleichmäßiger Verfeinerung erzielen LR NURBS eine hohe Genauigkeit bei geringerem Berechnungsaufwand. In dem zweiten Teil der Arbeit wird eine allgemeine Theorie und die dazugehörige isogeometrische Finite-Elemente-Formulierung für die Untersuchung von massenkonservierenden Phasenübergängen auf verformbaren, dünnwandigen Schalen präsentiert. Das mathematische Problem ist beschrieben durch die Kopplung der Kirchhoff-Love-Schalen-PDG mit der Cahn-Hilliard-PDG für Phasenübergänge. Die Kopplung führt zu einem System zweier nichtlinearer PDGen vierter Ordnung, die auf einer sich entfaltenden Oberflächenstrukturdefiniert sind. Für diese Interpolationen werden strukturierte NURBS und unstrukturierte Spline-Räume genutzt. Um NURBS-Diskretisierungen bestehend ausmehreren Patches zu nutzen, wird eine Methode für Stetigkeitsbedingungen an Patchgrenzen vorgestellt. Die zeitliche Diskretisierung basiert auf der generalized-α-Methode. Ein adaptives Zeitschrittverfahren wird vorgestellt und das gekoppelte System ist in einer monolithischen Newton-Raphson-Methode vollständig linearisiert. Das Verhaltendes gekoppelten Systems wird anhand verschiedener numerischer Beispiele für Phasenübergänge auf verformbaren Tori und Kugeln dargestellt. In dem letzten Teil der Arbeit wird eine adaptive Phasenfeld-Formulierung für dynamischen Bruch spröder Schalen präsentiert. Die Gleichung für die Bruchentwicklung nutzt eine Phasenfeld-Formulierung der vierten Ordnung und basiert auf der Theorie von Griffith zu Sprödbruch. Diese PDG vierter Ordnung ist gekoppelt mit der Kirchhoff-Love-Schalen-PDG. LR NURBS werden für die Oberflächendiskretisierung genutzt. Die zeitliche Diskretisierung basiert auf der generalized-α-Methode und das gekoppelte System ist in einer monolithischen Newton-Raphson-Methode linearisiert. Die vorgestellte Formulierung ist vollständig adaptiv in Raum und Zeit, da sie eine adaptive, lokale Verfeinerungsmethode und ein adaptives Zeitschrittverfahren nutzt. Die Interaktion zwischen Oberflächenverformung und Rissausbreitung wird anhand verschiedener numerischer Beispiele demonstriert.

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